Zu den Base Phi Representations:

Base Phi Minimum Binary, Base Phi Maximum Binary (2006)

Ein Zahlensystem mit dem goldenen Schnitt als Basis

Die Werke Base Phi Minimum Binary und Base Phi Maximum Binary basieren auf einem Zahlensystem, das den goldenen Schnitt als Basis verwendet. Trotz der irrationalen Basis, hat jede ganze Zahl eine einzigartige endliche Darstellung in diesem System. Dieses Zahlensystem wird manchmal als Phinär oder Phigital bezeichnet.

Die Werte des goldenen Schnittes werden durch Phi = 1,618033989… und phi = ,618033989… bezeichnet. Die folgende Tabelle gibt die Werte der Potenzen des goldenen Schnittes an und illustriert eine interessante Beziehung zu den Fibonacci-Zahlen:

Phi^5	8 + 5phi	11,0901699…
Phi^4	5 + 3phi	6,85410197…
Phi^3	3 + 2phi	4,23606798…
Phi^2	2 + 1phi	2,61803399…
Phi^1	1 + 1phi	1,61803399…
Phi^0	1 + 0phi	1,00000000…
Phi^-1	0 + 1phi	0,61803399…
Phi^-2	1 - 1phi	0,38196601…
Phi^-3	-1 + 2phi	0,23606798…
Phi^-4	2 - 3phi	0,14589803…
Phi^-5	-3 + 5phi	0,09016994…

Diese Beziehung zu den Fibonacci-Zahlen kann in folgender Gleichung zusammengefasst werden:

Phiⁿ = Fib_n+1 + Fib_n*phi

Im Folgenden sind die ersten 11 Zahlen im Zahlensystem zur Basis Phi aufgelistet:

Dezimal	Potenzen von Phi	Phinär
1	Phi^0	1
2	Phi^1+Phi^-2	10.01
3	Phi^2+Phi^-2	100.01
4	Phi^2+Phi^0+Phi^-2	101.01
5	Phi^3+Phi^-1+Phi^-4	1000.1001
6	Phi^3+Phi^1+Phi^-4	1010.0001
7	Phi^4+Phi^-4	10000.0001
8	Phi^4+Phi^0+Phi^-4	10001.0001
9	Phi^4+Phi^1+Phi^-2+Phi^-4	10010.0101
10	Phi^4+Phi^2+Phi^-2+Phi^-4	10100.0101
11	Phi^4+Phi^2+Phi^0+Phi^-2+Phi^-4	10101.0101

Ein Radixpunkt ‘.’ wird benutzt, um die Potenzen, die größer als 1 sind, von denen, die kleiner sind, zu trennen.

Eine der vielen interessanten Eigenschaften dieses Zahlensystems ist die Tatsache, dass sich zwei aufeinander folgende Einsen “11“ nie in einer Darstellung befinden (die Darstellung 10101.0101, zum Beispiel, enthält kein “11“). Diese Zahlenfolge nennt man auf Englisch „Base Phi Minimum Binary“. Man kann anhand eines Eliminierungsalgorithmus eine parallele Sequenz schaffen, bei der die Darstellungen keine aufeinander folgenden Nullen enthalten („Base Phi Maximum Binary“). Unten sind die ersten 29 Glieder der beiden Zahlenfolgen aufgelistet:

Minimum Maximum

1 1. 1.

2 10.01 1.11

3 100.01 11.01

4 101.01 101.01

5 1000.1001 101.1111

6 1010.0001 111.0111

7 10000.0001 1010.1101

8 10001.0001 1011.1101

9 10010.0101 1101.1101

10 10100.0101 1111.0101

11 10101.0101 10101.0101

12 100000.101001 10101.111111

13 100010.001001 10111.011111

14 100100.001001 11010.110111

15 100101.001001 11011.110111

16 101000.100001 11101.110111

17 101010.000001 11111.010111

18 1000000.000001 101010.101101

19 1000001.000001 101011.101101

20 1000010.010001 101101.101101

21 1000100.010001 101110.111101

22 1000101.010001 101111.111101

23 1001000.100101 110101.111101

24 1001010.000101 110111.011101

25 1010000.000101 111010.110101

26 1010001.000101 111011.110101

27 1010010.010101 111101.110101

28 1010100.010101 111111.010101

29 1010101.010101 1010101.010101

Kompositorischer Prozess

Der Schaffensprozess bei diesen zwei teilweise aleatorischen Werken unterscheidet sich stark von jenem bei meinen elektroakustischen Werken und anderen Instrumentalwerken. Die endlose Anzahl der Möglichkeiten solcher Stücke fordert mehr Zeit als sonst. Diese Kompositionen verfasste ich über zirka vier Wochen. Erst nach zwei Wochen fing ich an, sie zu notieren.

Die Idee zu diesen Stücken entstand im Juli 2006 nachdem mein Freund Ron Knott, ein britischer Mathematiker und Experte in Fibonacci-Zahlen, mich in die Zahlenfolgen eingeführt hat. Bevor ich zu komponieren begann, entwickelte ich ein Programm in Java, um die beiden Zahlenfolgen zu berechnen. Anhand einer Liste der Zahlen fing ich an, festere Vorstellungen des beabsichtigten Klanges zu erarbeiten. Ich stellte fest, dass sich ein besonders großes Klangpotenzial in drei Instrumentationsvorstellungen befand. So entstand die Aufteilung dieser Werke auf drei Versionen: für Schlaginstrumente von unbestimmter Tonhöhe, für Schlaginstrumente von bestimmter Tonhöhe und für Instrumente von bestimmter Tonhöhe.

Da diese Zahlenfolgen der Lucas-Folge eng verwandt sind (einer anderen Fibonacci-Folge beginnend mit 2,1,3,4,7,11,18,…), kam ich zum Schluss, dass Aufführungen, die eine Lucas-Anzahl gespielter Darstellungen beinhalten, das interessanteste Resultat ergeben würden. Die Aufführenden fangen mit der Phi-Basis-Darstellung für 1 an und spielen in aufsteigender Reihenfolge (im Dezimal-System 1,2,3,4,5,6,7,…,n, wobei n eine Lucas-Zahl ist).

In meiner Musik werden Zahlenfolgen häufig durch Raumort dargestellt. Die Möglichkeit, die Spieler im Raum zu platzieren, ist einer der größten Vorteile von Instrumentalwerken gegenüber meinen stereo-elektroakustischen Werken, bei denen der Raumort durch eine Phantomquelle simuliert wird. Mir fielen drei interessante Möglichkeiten ein, wie die Aufführenden im Konzertraum verteilt werden können; eine dieser Aufstellungsmöglichkeiten basiert auf den Potenzen des goldenen Schnittes.

Ich bevorzuge in solchen Komposition einen klaren, etwas harten Anschlag der gespielten Noten. Dies spielt auch eine Rolle bei der Besetzung – nur Instrumente, die einen scharfen Anschlag („crisp attack“) erzeugen können, dürfen benutzt werden. Zur Fassbarkeit müssen alle Aufführenden ihre Noten mit genau der gleichen Lautstärke und Artikulation wie die anderen spielen.

Eine der schwersten Entscheidungen, die ich beim Komponieren treffen musste, war die Frage, wie ich das Werk notieren soll. Obwohl ich zur Klarheit auch traditionelle Notation in der Partitur benutzt habe, entschloss ich mich den Aufführenden vorzuschlagen, eine Liste der Zahlenfolgen selbst als Notation zu benutzen. Dies könnte wohl viele Instrumentalisten vom Werk abschrecken. Es war aber eine wohlüberlegte künstlerische Entscheidung; es ist mir wichtig, dass die Aufführenden ihre Inspiration und Klangvorstellungen von der gleichen Quelle wie ich nehmen.

Zur Wirkung der Stücke

Die aleatorische Natur der Kompositionen ermöglicht stark unterschiedliche Wirkungen der Aufführung. Wenn die Zahlenfolgen schnell und laut gespielt werden, ist die Wirkung sehr energetisch und intensiv. Bei langsameren Tempi werden die Stücke hypnotischer und kontemplativer. Sehr kurze Aufführungen kommen flüchtig vor, längere Aufführungen haben eine hochtrabende Wirkung.

In diesen und anderen Stücken von mir werden die mathematischen Eigenschaften der benutzten Sequenz in musikalische Eigenschaften umgewandelt. In der Folge ist das Klangerlebnis umso interessanter, wenn man weiß, wie die Zahlenfolgen strukturiert sind.

Der Hauptaffekt der von den Fibonacci-Zahlen und dem goldenen Schnitt geprägten Musik lässt sich schwer in Worten fassen. Einheitlichkeit, Ernst und Eleganz sind vielleicht die Hauptmerkmale dieser Musik. Wenn man den Stil gut kennt, findet man oft beim Hören einer auf einer unbekannten Zahlenfolge basierten Komposition etwas, was von anderen Kompositionen in diesem Stil bekannt vorkommt. Je mehr Musik man in diesem Stil hört, desto interessanter wird das Klangerlebnis.

Das Stück Base Phi Minimum Binary hat einen etwas weiträumigen Charakter im Vergleich mit Base Phi Maximum Binary, welches einen dichteren Klang erzeugt. Beide Stücke sind nichtsdestotrotz vom Charakter her sehr ähnlich.