Zum Study in Fibonacci Pitch Class Sequences no. 4 (2000)

 

Das Fibonacci-Mod-12-System

 

Die Fibonacci-Folge fängt mit {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…} an. Wenn man diese Zahlenfolge in der Zwölftonstimmung vertont, findet man, dass die Töne rasch über die menschliche Hörgrenze hinaus geraten. Man kann aber auf der Basis des Modulus 12 eine periodische Zahlenfolge berechnen, die die Fibonacci-Eigenschaft bewahrt, dass jede aufeinander folgende Tonklasse die Summe der zwei vorangegangenen ist:

 


 

Die oben dargestellte Zahlenfolge ist nicht die einzige mögliche Fibonacci-Tonklassenmenge in der Zwölftonstimmung. Die Sammlung aller in der Zwölftonstimmung möglichen Fibonacci-Tonfolgen nennt man das Fibonacci-Mod-12-System. Diese Sammlung periodischer Zahlenfolgen enthält sämtliche mögliche Kombinationen zwei aufeinander folgender Töne bzw. zwei aufeinander folgender Intervalle. Man kann, in anderen Worten, irgendeine Kombination zwei aufeinander folgender Töne oder Intervalle nennen ({3, 7} zum Beispiel), und jene Töne oder Intervalle irgendwo in der Sammlung finden. Dies verleiht den mit diesen Tonfolgen komponierten Werken eine große Klangvielfalt, die an das Zwölftonsystem erinnert. Das Fibonacci-Mod-12-System sieht folgend aus:

 

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Struktur der Komposition

 

Die metrische Struktur des Werkes wurde von der Fibonacci-Kette abgeleitet. Als ich Study in Fibonacci Pitch Class Sequences no. 4 vor sechs Jahren komponierte, wusste ich eigentlich nicht, was die Fibonacci-Kette war. Ich habe diese Zahlenfolge damals aus musikalischer Notwendigkeit selbst entdeckt. Mit Hilfe der Fibonacci-Kette kann man metrische Strukturen schaffen, die sich besonders gut zur Komposition mit dem goldenen Schnitt schicken. Die Fibonacci-Kette kann man berechnen, in dem mit {1} anfängt, und zufolge jede {1} durch {10} ersetzt, und jede {0} durch {1}. Im Folgenden ist eine Darstellung diese Methode der Berechnung der Zahlenfolge, die auch als die Kaninchen-Folge bekannt ist, aufgeführt:

 

rabbit

 

In diesem Werk habe ich die Einsen und Nullen in der Fibonacci-Kette beziehungsweise durch die Fibonacci-Zahlen Drei und Fünf ersetzt; daraus entsteht die Taktfolge:

 

{5,3,5,5,3,5,3,5,5,3,5,5,3,5,3,5,5,3,5,3,5,5,3,5,5,3,5,3,5,5,3,5,5,3}

 

Die ganze Komposition enthält eine Fibonacci-Anzahl von 144 Schlägen bzw. eine Fibonacci-Anzahl von 34 Takten. Die dichteste und aufregendste Stelle ereignet sich zu dem durch den goldenen Schnitt bestimmten Zeitpunkt. An dieser Stelle werden zwei Fibonacci-Tonfolgen über einander gespielt, welches eine Fibonacci-Zahlenfolge von Intervallen ergibt.

 

Eine der größten Herausforderungen der Komposition mit Mod-12-Fibonacci-Tonfolgen ist die Strukturierung bezüglich der Verteilung der Tonfolgen. Allein die Anzahl der Tonfolgen im System (10), welche nicht eine Fibonacci-Zahl ist, bereitet kompositorische Probleme. Diese Komposition benutzt jede mögliche Fibonacci-Tonfolge einmal. Das folgende Diagramm zeigt die Verteilung der Tonfolgen und die metrische Struktur in der Komposition an:

 

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Der Schaffensprozess

 

Zu Beginn bestimmte ich die metrische Struktur und Verteilung der Tonfolgen. Die Fibonacci-Tonklassenmengen lassen sich in sechs allgemeinen Tongruppen aufteilen. Die erste Gruppe ist chromatisch und enthält alle zwölf Töne (zu dieser Gruppe gehören die Tonfolgen f1 und l1). Die zweite Gruppe enthält nur die Töne {0,2,4,6,8,10} – f2 nenne ich aus diesem Grund die ganztönige Fibonacci-Tonfolge. Dazu kommen vier andere Gruppen: die Gruppen mit den Tönen {0,3,6,9} – f3, {0,4,8} – f4, {0,6} – f6 und nicht zuletzt die Gruppe, die nur einen Ton enthält {0} –f0. Diese Aufteilung der Fibonacci-Tonklassenmenge in sechs Gruppen hat eine erhebliche Auswirkung auf den Klang der Musik und rührt von der additiven Eigenschaft der Fibonacci-Folge her. Ich habe die chromatischen Tonfolgen an die meiner Ansicht nach strukturell wichtigsten Stellen platziert. In der Mitte der Komposition hört man die Tonfolge f4 ganz weiträumig gespielt.

 

Nach der Bestimmung der Struktur entschied ich mich für den Anfangston Gis = 0 aus koloristischen Gründen, und weil Gis der tiefste Ton auf der Violine ist, der nicht eine leere Saite ist.

 

Die dynamische Struktur des Werkes habe ich auf intuitive Weise komponiert; sie richtet sich nach der melodischen Linie, Singbarkeit und Dramatik des Werkes. Auch die Platzierung der Tonklassen in Oktaven beruht nicht auf den Fibonacci-Zahlen oder dem goldenen Schnitt. Stattdessen habe ich mich bemüht, ästhetisch angenehme melodische Linien, die dem Instrument gut passen, aus den Tonfolgen zu schaffen. Viele Stellen im Werk sind in eigentlichem Fibonacci-Abstand (zum Beispiel die melodische Linie in den Takten 1 bis 3, und die „Fibonacci-Keile“ in den Takten 5 und 34). Aus der Vielfalt der Tonfolgen und der verwendeten Temperatur entstehen Teile der Komposition, die auf eine flüchtige Weise tonal klingen (Takt 9 zum Beispiel).

 

Die Studies in Fibonacci Pitch Class Sequences

 

Zu dieser Kompositionsserie zählen 14 Werke, darunter eine pointillistische Komposition für Kammerorchester, und Solowerke für Vibrafon, Bratsche, E-Gitarre, Bassstimme, Gitarre, Kontratenor, Tenor, Sopran, Klavier und Violoncello. Diese Kompositionen haben alle eine von der Fibonacci-Kette abgeleitete metrische Struktur. Alle benutzen jede Fibonacci-Tonfolge einmal. Die Verteilung der Tonfolgen ist in allen Werken sehr ähnlich. In einigen Werken habe ich die Zahlen der Fibonacci-Kette durch Lucas-Zahlen ersetzt {4,3,4,4,3,4,3,4,…}. In den Vokalwerken habe ich jedem Ton einen Vokal zugeordnet. Das Resultat ist eine Fibonacci-Folge von Vokalen; jede aufeinander folgende Kombination zweier Vokale wird gehört. In einigen Instrumentalwerken und im Werk für Kammerorchester habe ich auf ähnliche Weise jedem Ton eine Klangfarbe (oder Spieltechnik) zugeordnet.