Zur Komposition

Vertical Para-Fibonacci Sequence no. 22 (2006)

 

Das Wythoff-Array

 

Die vertikale Para-Fibonacci-Folge (auf Englisch vertical para-Fibonacci sequence) wird von dem Wythoff-Array abgeleitet.

 

Jede Zeile im Wythoff-Array ist eine Fibonacci-Folge. Alle positiven ganzen Zahlen befinden sich einmal im Array. Man kann das Array erstellen, in dem man die positiven ganzen Zahlen Z und die auf dem goldenen Schnitt Ф = (1 + √5)/2 basierte Beatty-Folge abrunden(Ф(Z + 1)) als Anfangszahlen für Fibonacci-Folgen benutzt, und Fibonacci-Folgen wie in folgender Tabelle berechnet:

 

Wythoff Array

 

Der schwarze Teil ist das Wythoff-Array. Die oberste Zeile, welche die nullte geheißen wird, ist die gewöhnliche Fibonacci-Folge, die erste Zeile ist die Lucas-Folge.

 

Die vertikale Para-Fibonacci-Folge gibt die Zeilennummer an von der Zeile, die n enthält.  Die vertikale Para-Fibonacci-Folge fängt {0,0,0,1,0,2,1,0,… } an, weil diese Zeilen beziehungsweise {1,2,3,4,5,6,7,8,… } enthalten. 4 befindet sich zum Beispiel in der 1. Zeile.

 

Zu den Eigenschaften der vertikalen Para-Fibonacci-Folge

 

Diese Zahlenfolge enthält unzählig viele interessante Charakteristiken. In musikalischer Hinsicht ist eine Eigenschaft von besonderem Interesse.

 

forvert

 

Im oben stehenden Punktdiagramm der vertikalen Para-Fibonacci-Folge sieht man, dass alle Töne 0 bis 20 im letzten (violetten) Teil einmal enthalten sind. Da die Zahlenfolge ein Fraktal ist, haben alle anderen Teile der Folge die gleiche Eigenschaft – in diesen Abschnitten sieht man die Fibonacci-Folge {1,1,2,3,5,8,13,21}. Dieses Erschöpfungsprinzip erzeugt einen sehr dichten Klang, der an das Zwölftonsystem erinnert.

 

Zum Programm Maatraameru

 

Vertical Para-Fibonacci Sequence no. 22 schrieb ich mit Hilfe meines Programms Maatraameru, welches 2006 in Java geschrieben wurde. Der Sinn und Zweck des Programms ist hauptsächlich die Erhöhung der Genauigkeit bei der Einstellung der Lautstärke und simulierten Raumorts (Phantomquelle). Unter anderem erstellt das Programm sowohl Csound-Dateien als auch Partituren und Verzeichniseinträge. Es befinden sich Algorithmen zur Berechnung sämtlicher von mir benutzten Zahlenfolgen in diesem Programm. Das folgende Bildschirmfoto zeigt die eigentlichen zur Komposition dieses Stückes benutzten Maatraameru-Dateien an:

 

maatraascreenshot

 

Auf der linken Seite befinden sich die allgemeinen Parameter des Stückes, rechts steht die zur Einstellung der Phantomquelle und Lautstärke benutzte Konsole (auf Englisch die Profile-Setting Console).

 

Zum Schaffensprozess

 

Solche Stücke von mir werden relativ schnell konzipiert – mit Hilfe des Maatraameru dauert der ganze Schaffensprozess selten mehr als eine Stunde.

 

Nachdem ich mich für eine Zahlenfolge entschieden habe, stelle ich fest, ob die Zahlenfolge in auf- oder absteigenden Tonhöhen dargestellt werden soll. Danach entschließe ich mich für die Temperatur, Klangfarbe, Notendauer, den Raumort und die Lautstärke. Die Reihenfolge, in der ich diese Entscheidungen treffe, ist unterschiedlich; manchmal treffe ich Entscheidungen gleichzeitig oder sogar alles auf einmal. Dieser Entscheidungsprozess geschieht normalerweise sehr spontan und auf schnelle Weise.

 

Nach der Feststellung der Parameter fange ich an, anhand des Programms, die Lautstärke und den Raumort zu bestimmen. Ich fange mit den höchsten und tiefsten Tönen an, und mit dem Ton genau dazwischen. In diesem Fall ist der höchste Ton fortissimo auf 2182 Hz, der tiefste forte fortissimo auf 103,7 Hz. Ich bestimme zuerst die Lautstärke und Raumort der höchsten und tiefsten Töne, danach stelle ich die Lautstärke und Raumort den genau dazwischen liegenden Ton ein (dieser Ton wird im Stück eigentlich gar nicht benutzt und dient nur als Referenzpunkt zur Interpolation). Dann nehme ich die drei Töne als Referenzpunkte X-------X-------X und interpoliere sie, um die dazwischen liegenden Töne zu Finden X---X---X---X---X. Diese zwischen liegenden Töne müssen dann nachgestellt werden, da das mathematische Resultat der Interpolation den eigentlichen psychoakustischen Referenzpunkten nicht entspricht. Der Prozess wird dann fortgesetzt um weitere Referenzpunkte zu finden X-X-X-X-X-X-X-X-X  (in Maatraameru bis zu 33). Kubische Interpolation der Referenzpunkte wird zum Schluss benutzt um die Lautstärke und den Raumort der in dem Stück benutzten Töne zu bestimmen.

 

Ich komponiere solche Werke ausschließlich in der Isolation meines Studios, in dem die Wände vollständig mit Schalldämmung bedeckt sind. Absolute Stille ist eine Voraussetzung dieses kompositorischen Prozesses.

 

Zur Wirkung des Stückes

 

Die vertonte vertikale Para-Fibonacci-Folge hat eine sehr einzigartige Wirkung. In diesem Fall wurde die 11. Temperatur, in der das Grundintervall zirka 9 Cent entspricht, verwendet. 610 verschiedene Töne werden in einem Ambitus von weniger als fünf Oktaven gehört – und das in 76,656 Sekunden. Dies verleiht der Komposition einen besonders dichten tonalen Charakter.

 

Die Klangfarbe, wie die Tonhöhe und der Raumort, verändert sich nach der Zahlenfolge im Lauf der Komposition. Die Verwendung purer Wellenformen

(Sinus-, Sägezahn-, Dreieck-, und Viereckwellen) trägt zur Fassbarkeit der Musik bei. Wenn solche etwas durchsichtige Klangfarben benutzt werden, steht die Zahlenfolge selbst deutlicher im Vordergrund als sonst. In diesem Stück verwandelt sich die Klangfarbe von einer Sinuswelle in eine Viereckwelle (nach den Zahlen 0 bis 609).

 

Die Lautstärke dieser Komposition trägt zur Spannung der Musik bei. Dieses Stück würde eine stark unterschiedliche Wirkung haben, wenn es leiser wäre – auch wenn alles sonst gleich wäre. Aus diesem Grund bestehe ich darauf, dass die Zuhörer meine zu diesem Zweck geschaffenen WAV-Dateien zur Voreinstellung der Lautstärke benutzen.